Beschreibung der Wissensbasis (des abstrakten Modells) fuer natuerliche Zahlen

+, , 0, 1, s, <), s ist Nachfolgerfunktion

Sei PA die Menge der Axiome von Peano. Zu untersuchen folgende Frage: Ist PA vollstaendig?

Auf der Peano Arithmetik aufbauend sollte in der ``Principia Mathematika'' von Russell und Whitehead anfangs des letzten 20. Jahrhunderts die gesamte Mathematik axiomatisisert werden.

Peano Postulate:

1. 0 ist eine natuerliche Zahl
2. Der Nachfolger einer natuerlichen Zahl ist eine natuerliche Zahl
3. Verschiedene natuerliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger
4. 0 ist nicht Nachfolger einer natuerlichen Zahl
5. Wenn 0 eine Eigenschaft hat und ausserdem der Nachfolger einer natuerlichen Zahl eine Eigenschaft besitzt, wenn eine nat. Zahl diese besitzt, dann besitzen alle nat. Zahlen diese Eigenschaft. ( )

Dann heisst PA ist beweisbar aus PA.

Ohne das 5. Postulat waere PA -unvollstaendig. Die Gesamtheit aller natuerlichen Zahlen wird mitunder mit Omega bezeichnet. Was heisst Omega unvollstaendig? Z.B. liessen sich ohne das 5. Postulat folgende Formeln erzeugen:

(0+0)=0

(0+1)=1

(0+2)=2

(0+3)=3

usw., aber die allquantifizierte Kette waere kein Satz. Systeme mit Fehlern dieser Art nennt man -unvollstaendig.

Frage: Gilt wenn wahr ist in , d.h. PA , gilt dann auch PA ?