Stephen Read redet von Kompaktheit und Folgerungs- und Ableitungsbeziehnungen.
Sei X eine Menge von Formeln. Dann bezeichnet Read wenn 
dann
als
Fehlerlosigkeit. Als Kompaktheit bezeichnet er, dass A auch aus einer endlichen Teilmenge von X folgen soll. Das ist recht wichtig, weil es zeigt, dass ein Beweis nicht ein unendlicher Gegenstand ist -> erzeugt aber zu wenig. Ein Beweis entsteht dadurch, dass man prueft, ob eine Ableitung wohlgeformt ist. Wenn das System fehlerlos ist, insbesonder nicht widerspruechlich, so erhaelt man durch eine Ableitung den Beweis. Read bezeichnet das als wichtigste Eigenschaft eines Systems. Der Umkehrung, der Vollstaendigkeit, kann er nicht ebendsoviel Bedeutung beimessen. Verstaendlich -> wenn System falsche Aussagen erzeugt, ist es unnuetz.
Lange Zeit war eine Frage, ob auch die Umkehrung der Fehlerlosigkeit gilt, d.h.
wenn dann , d.h. wenn ich einen wohlgeformten
Satz habe, so ist entweder der Satz oder seine Verneinung ableitbar.
Goedel hat 1930 gezeigt, dass das Praedikatenkalkuel 1. Stufe vollstaendig ist (und Church hat 1936 gezeigt, dass es nicht entscheidbar ist). Nur diente die Logik im 19. Jahrhundert den Mathematikern, insbesondere Russel und Hilbert, dazu, die Mathematik zu axiomatisieren. Es sollte moeglich sein, durch rein mechanische Prozesse mathematische Saetze und Wahrheiten zu beweisen. Goedel zeigte 1931 in seinem Unvollstaendigkeitssatz dass jedes System was in der Lage ist, arithmetische Wahrheiten zu zu beweisen, notwendigerweise unvollstaendig ist. Es wird immer moeglich sein, einen Satz zu konstruieren, der, obwohl er wahr ist, unentscheidbar in dem System ist (Goedels Unvollstaendigkeitssatz). Gleichzeitig zeigte Goedel, dass es nicht moeglich ist, einen Beweis fuer die Widerspruchsfreiheit eines solchen Systems zu finden, weil ein Satz, der die aussagt, einer der unentscheidbaren Saetze sein muesste. Es hat sich damit gezeigt, dass selbst Systeme, die nur so maechtig sind, arithmetische Wahrheiten zu beweisen, weder vollstaendig noch entscheidbar sind, und dass ihre Widerspruchsfreiheit nicht bewiesen werden kann.