Der Trick besteht darin, diese besondere Substitution in einem Satz durchzufuehren, der selber von einer solchen Ersetzung spricht. Dieser Satz heisst nun wie folgt:
Nun hat diese Formel natuerlich eine Goedelnummer, die wir u nennen wollen. Der Anfang laesst sich noch recht einfach ausdruecken, um die ganze Goedelnummer zu notieren muessten wir wissen, wie Beweispaar und Quine tatsaechlich aussehen, und das fuehrt an der Stelle zu weit (und die Tafel ist zu klein). Jetzt wenden wir die Quine-Operation auf den Satz u selbst an, d.h. alle freien Variablen (a'') werden beseitigt, und durch die Goedelnummer von u ersetzt.
Das ergibt:
(Fuer a'' werden uS eingesetzt)
Das ist Goedels Kette, die wir mit G bezeichnen. Sofort 2 Fragen:
1. Was ist die Goedel-Nummer von G? 2. Wie ist die Interpretation von G?
G ist die Substitution aller freien Variablen in u durch die Goedelnummer von u.
2. Interpretation ungefaehrt: Es gibt keine Zahl a und a', so dass beide ein Beweispaar bilden und a' durch Substitution von u's Goedelnummer in u entstand.
Nun existiert aber gewiss eine Zahl a', die entsteht, wenn man in u alle freien Variablen durch u's Goedelnummer ersetzt. Das Problem muss also bei der Variablen a liegen, und somit koennen wir sagen:
Es existiert keine Zahl a, die mit a'(entstanden durch Sub(u,u,a')) ein Beweispaar bildet.
Damit koennen wir auch sagen, dass die Formel a', die durch Sub(u,u,a') entstand, kein Satz von PA ist. Dieser Satz ist aber G selbst. Deshalb sagt dieser Satz eigentlich: G ist kein Satz von PA oder: Ich bin kein Satz von PA.
Was haben wir damit gezeigt?
Ist G ein Satz von PA? Wenn ja, so muss er eine Wahrheit aussprechen (wahr sein innerhalb von PA). Was spricht aber G aus, was ist seine Interpretation? Die Tatsache, dass er selbst kein Satz ist. Damit wuerde aus der Eigenschaft, dass G ein Satz, folgen, dass er keiner ist.
Angenommen, G ist kein Satz. Das waere akzeptabel und fuehrt zu keinem Widerspruch. Doch G behauptet von sich, dass er kein Satz waere, und damit eine Wahrheit. Und weil G kein Satz ist, existiert eine Wahrheit ausserhalb der PA und damit ist weder G noch G ein Satz von PA.
Goedel hat gezeigt, dass jedes axiomatische System, welches maechtig genug ist, ueber sich selbst zu sprechen, unentscheidbare Aussagen enthaelt.