Das G kein Satz von PA ist, muss nicht unbedingt schlimm sein. Es zeigt, dass PA erweitert werden kann. Entweder, man fuegt G oder G als neues Axiom zu PA hinzu. Nun spielt es kaum eine Rolle, ob man G oder Nicht-G hinzufuegt. Fuegt man Nicht-G als Axiom hinzu, so hiesse das:
Es gibt eine ``gewisse'' Zahl, die ein Beweispaar mit a' (welches durch Sub(u,u,a')) bildet, aber nacheinander auch:
0 ist nicht diese Zahl. 1 ist nicht diese Zahl. 2 ist nicht diese Zahl. usw.
Das scheint widerspruechlich (man nennt diesen Widerspruch Omega-Widerspruch).
Es steht die Frage, ob es ueberhaupt etwas nuetzt, bzw. ob ein System mehr leistet, in welchem wir G oder G als neues Axiom hinzufuegen.
Nein. Neuer Satz G' laesst sich genauso konstruieren: Ich kann in PA+G nicht bewiesen werden, mit Praedikat PA+G-Beweispaar.
Aber alle diese Unvollstaendigkeiten werden mit ein- und derselben Technik hergestellt. Peano hatte das Problem mit (0+a)=a und hat 5. Postulat hinzugefuegt.
Wenn wir PA statt einem Axiom ein Axiomenschema (nennen wir es G
hinzufuegen wuerden, haben wir alle moeglichen Saetze die durch die Goedelisierung
entstanden, als Axiome hinzugefuegt. Wenn man die verschiedenen Ketten G, G',
G'' usw. in einer typographischen Form festhalten kann, kann man sie auch in
einer arithmetischen Form beschreiben. Man kann dann ein Praedikat OMEGA-Axiom(a)
definieren, dessen Interpretation lautet: a ist die Goedel-Nummer eines der
Axiome, die von G stammen. Nun bilde man PA+G-Beweispaar(a,a')
und stelle eine neue Kette u auf usw...
Als gutes Beispiel fuer 
-Unvollstaendigkeit Cantorscher Diagonalbeweis
fuer Ueberabzahlbarkeit der reellen Zahlen. (Vorfuehrung wenn Zeit vorhanden)